삼각형 넓이 공식 총정리 삼각함수 헤론
흔히 삼각형 넓이는 ‘밑변 곱하기 높이 나누기 2’로 구하지만, 높이를 알기 어려울 때가 많습니다. 이때 유용하게 활용되는 삼각함수, 헤론의 공식 등 다양한 삼각형 넓이 계산법을 알아봅니다.
기본 삼각형 넓이 공식
삼각형 넓이 계산의 가장 기본 중의 기본부터 시작해볼까요? 바로 1/2 × 밑변 × 높이 공식입니다. 밑변과 그에 수직인 높이만 알면 어떤 삼각형이든 넓이를 뚝딱 구할 수 있죠. 예를 들어, 밑변 10cm, 높이 6cm 삼각형은 30cm²가 됩니다.
이제 특별한 삼각형들을 위한 맞춤 공식입니다.
- 직각삼각형: 이건 정말 간단합니다. 직각을 이루는 두 변 중 하나를 밑변으로, 다른 하나를 높이로 보면 끝! 1/2 × (두 직각변의 곱)이면 넓이가 나옵니다.
- 정삼각형: 세 변 길이가 모두 같은 정삼각형은 한 변 ‘a’만 알면 됩니다. 넓이는 (√3 / 4) × a². 외워두면 요긴하게 쓸 겁니다.
- 이등변삼각형: 두 변 길이가 같은 이등변삼각형은 밑변과 높이를 알 때 일반 공식과 동일합니다. 다만, 높이 대신 두 같은 변과 그 사이 끼인 각만 아는 경우가 생기죠.
이렇게 밑변과 높이가 명확할 때는 이 공식들로 충분합니다. 하지만 우리 삶이 늘 명확하던가요? 밑변이나 높이를 직접 알기 어려울 때는 과연 어떻게 넓이를 구할 수 있을까요?
삼각함수와 삼각비를 활용한 넓이
지난번 밑변과 높이 공식, 잘 기억하시죠? 하지만 현실에선 높이를 직접 알기 어려운 상황이 태반입니다. 이럴 때 우리에게 든든한 해결사로 등장하는 것이 바로 삼각비와 삼각함수입니다.
핵심은 사인(sin)이에요. 직각삼각형에서 ‘빗변 분의 높이’로 정의되는 사인은, 높이를 직접 모를 때 각도와 다른 한 변으로 높이를 ‘만들어낼’ 수 있게 합니다. 이것이 삼각비의 기본 정의고, 좌표축 위에서 확장된 개념이 삼각함수죠.
이 원리를 활용한 것이 삼각함수 사인(Sin) 공식입니다. 공식은 간단해요: 1/2 × 두 변의 길이 × 그 끼인각의 사인(sin) 값. 즉, 두 변 a, b와 끼인각 C를 알면 넓이는 1/2 * a * b * sin(C)가 됩니다.
왜냐고요? 삼각형의 높이(h)가 다른 한 변 * sin(끼인각)으로 대체되기 때문입니다. 즉, 높이를 sin 함수로 ‘치환’하는 거죠. 복잡한 현장에서 각도만으로도 넓이를 척척 구할 수 있는 강력한 도구! 자, 이제 세 변 길이만으로 넓이를 구하는 마법 같은 방법을 알아볼까요?
세 변의 길이로 넓이를 구하는 헤론의 공식
자, 이전에는 각도를 활용해 넓이를 구하는 삼각함수 공식을 살펴봤습니다. 그런데 만약 측량 현장처럼 세 변의 길이만 정확히 알고 있고, 각도나 높이를 재기 어렵다면 어떻게 할까요? 마치 복잡한 투자 상황에서 오직 데이터만 가지고 답을 찾아야 할 때처럼 말이죠. 이럴 때 빛을 발하는 공식이 바로 헤론의 공식입니다.
헤론의 공식은 간단합니다. 삼각형의 세 변 길이 a, b, c만 알면 됩니다. 먼저 반둘레 길이 s를 구하죠. s = (a + b + c) / 2. 그 다음 넓이 A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] 로 계산합니다. 복잡한 유도 과정은 몰라도 괜찮습니다. 핵심은 세 변만으로 넓이를 뚝딱 구할 수 있다는 점이죠.
이 공식은 특히 부동산 토지 측량, 건축 현장에서 불규칙한 모양의 부지 면적 계산에 유용합니다. 높이 측정 장비 없이 줄자만으로도 정확한 면적을 알아낼 수 있으니, 얼마나 실용적인가요? 앞서 본 공식들과 비교해보면, 각 공식의 강점은 명확해집니다.
- 밑변*높이 공식: 가장 직관적. 높이 정보를 얻기 쉬울 때 최고.
- 삼각함수 공식: 두 변과 끼인각을 알 때 높이를 몰라도 넓이 계산 가능.
- 헤론의 공식: 세 변의 길이만 주어졌을 때의 구원투수!
결국, 중요한 건 당신에게 어떤 정보가 주어졌느냐입니다. 주어진 상황에 따라 최적의 공식, 즉 가장 효율적인 ‘무기’를 선택하는 지혜가 필요한 거죠. 과연 당신의 다음 삼각형 넓이 계산에는 어떤 공식이 가장 적합할까요?
마무리
본 글에서는 정삼각형부터 직각, 이등변삼각형은 물론, 높이 없이 두 변과 끼인각만으로 넓이를 구하는 삼각함수 공식과 세 변의 길이만 알면 되는 헤론의 공식까지 다양한 삼각형 넓이 계산법을 살펴보았습니다. 이러한 공식들은 수학 문제 해결은 물론, 건축, 공학 등 여러 분야에서 실용적으로 활용됩니다. 복잡해 보이는 도형의 넓이도 이제는 손쉽게 구할 수 있을 것입니다.
